Question

遞增的等比數列{a_n}滿足a3=2，a2+a4=

20

3

．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=na_n，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用等比數列的通項公式即可得出；
（2）利用“錯位相減法”和等比數列的前n項公式即可得出．

解答：解：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，∵a3=2，a2+a4=

20

3

，
∴

a1q2=2 a1q+a1q3= 20 3

，解得

a1= 2 9 q=3

或

a1=18 q= 1 3

．
∵此等比數列{a_n}是單調遞增，∴取

a1= 2 9 q=3

，
∴an=

2

27

•3n；   
（2）∵bn=n×

2

27

•3n=

2n

27

•3n．
∴Sn=

2

27

(3+2•32+…+n•3n)，
3S_n=

2

27

[32+2•33+…+(n-1)•3n+n•3n+1]，
∴-2Sn=

2

27

(3+32+…+3n-n•3n+1)=

2

27

[

3(3n-1)

3-1

-n•3n+1]，
整理得Sn=

1

27

[(n-

1

2

)•3n+1+

3

2

]．

點評：本題考查了等比數列的通項公式、“錯位相減法”和等比數列的前n項公式，屬于中檔題．