【題目】設
，
為所有滿足下列條件的整數數列
的個數：
（1）
，
，且
；
（2）不存在
、
，使得
.
試求
的值.
【答案】2012
【解析】
將長度為
的圓周等分成份，分點依次標為0，1，…，.再將標
的分點染為黑色，其他
個分點染為白色.則題設數列與以下染法一一對應：
（1）標0的點為黑點，且黑點將圓周分成段圓弧，每段弧長為1或2或3；
（2）圓周上沒有兩個黑點為對徑點，即黑點與白點一一對應，組成對徑點.
顯然，不存在相鄰的三個黑點.否則，設
、
、
為相鄰黑點.則其對徑點
、
、
為相鄰白點，但包含這三個白點的弧長大于3，矛盾.
從而，滿足（1）、（2）的染法為標0的點為黑色，將
各點染黑、白兩色，使得其中沒有相鄰的三個點同色，再對應地將
點染色（
染黑色
染白色）.
首先，對長為
的圓弧各分點染兩色，使得兩端點為黑色，且沒有相鄰的三個點同色.
設其染法個數為
.易知，
，
，
.
對
，考慮最后一段以黑點為端點的圓弧.
若其弧長為3，則相應染法個數為
；
若其弧長為2，則相應染法個數為
；
若其弧長為1，則其相鄰的弧長為2或3，其染法個數為
.
故
.
下面求滿足（1）、（2）的染法個數
.
若點
為黑色，則染法個數為
.
若點為白色，而為白色，則
、
為黑色，1為白色.如果2為黑色，則染法個數為
；如果2為白色，則3為黑色，染法個數為
.從而，
.①
逐項計算得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
由式①得
，
，
.
故
.
綜合自測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
且橢圓上存在一點
，滿足
.
(1)求橢圓
的標準方程；
(2)已知
分別是橢圓的左、右頂點，過
的直線交橢圓于
兩點，記直線
的交點為
，是否存在一條定直線
，使點恒在直線上?
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于正整數
，若存在1，2，…，的一個排列
滿足
（
），則稱為“循球數”.證明：
（1）9、11都是循環數；
（2）為循環數的一個必要不充分條件是
為質數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法正確的是（ ）．
A.命題
，
，則
為
，
B.“若
，則
”的逆命題為真命題
C.若“
”、“ ”為真命題，則“
”為假命題
D.王昌齡《從軍行》中兩句詩“黃沙百戰穿金甲，不破樓蘭終不還”，后一句中“攻破樓蘭”是“回到家鄉”的必要條件
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為抗擊新型冠狀病毒，普及防護知識，某校開展了“疫情防護”網絡知識競賽活動.現從參加該活動的學生中隨機抽取了100名學生，將他們的比賽成績（滿分為100分）分為6組：
，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求
的值，并估計這100名學生的平均成績（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；
（2）在抽取的100名學生中，規定：比賽成績不低于80分為“優秀”，比賽成績低于80分為“非優秀”.請將下面的2×2列聯表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為“比賽成績是否優秀與性別有關”？
優秀 | 非優秀 | 合計 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 50 | ||
合計 | 100 |
參考公式及數據：
.
| 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】改革開放以來，人們的支付方式發生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發現樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：
支付方式 | （0,1000] | （1000,2000] | 大于2000 |
僅使用A | 18人 | 9人 | 3人 |
僅使用B | 10人 | 14人 | 1人 |
（Ⅰ）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數，求X的分布列和數學期望；
（Ⅲ）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現從樣本僅使用A的學生中，隨機抽查3人，發現他們本月的支付金額都大于2000元．根據抽查結果，能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化？說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】袋內有大小完全相同的
個黑球和
個白球，從中不放回地每次任取
個小球，直至取到白球后停止取球，則（ ）
A.抽取次后停止取球的概率為
B.停止取球時，取出的白球個數不少于黑球的概率為
C.取球次數
的期望為
D.取球次數的方差為
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