Question

如圖：在平面直角坐標系中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A、B兩點．
（1）若A、B兩點的縱坐標分別為

4

5

、

12

13

，求cos（β-α）的值；
（2）已知點C(-1，

3

)，求函數f(α)=

OA

•

OC

的值域．

Answer 1

分析：（1）由三角函數的定義可得sinα，sinβ，再由同角三角函數的基本關系可得cosαcosβ，代入兩角差的余弦公式可得；
（2）由數量積的運算可得f（α）=2sin(α-

π

6

)，由α得范圍，逐步求范圍可得答案．

解答：解：（1）根據三角函數的定義，得sinα=

4

5

，sinβ=

12

13

．
又α是銳角，所以cosα=

3

5

，因為β是鈍角，所以cosβ=-

5

13

．
所以cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα=(-

5

13

)×

3

5

+

12

13

×

4

5

=

33

65

．
（2）由題意可知，

OA

=(cosα，sinα)，

OC

=(-1，

3

)．
所以f(α)=

OA

•

OC

=

3

sinα-cosα=2sin(α-

π

6

)，
因為0＜α＜

π

2

，所以-

π

6

＜α-

π

6

＜

π

3

，-

1

2

＜sin(a-

π

6

)＜

3

2

從而-1＜f(α)＜

3

，因此函數f(α)=

OA

•

OC

的值域為(-1，

3

)．

點評：本題考查平面向量的數量積的運算，以及三角函數的運算公式和值域，屬中檔題．