Question

12．設(shè)F是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一個焦點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)P，使線段PF的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個端點(diǎn)，則雙曲線C的漸近線方程為y=±2x．

Answer 1

分析 設(shè)F（c，0），P（m，n），（m＜0），設(shè)PF的中點(diǎn)為M（0，b），即有m=-c，n=2b，將中點(diǎn)M的坐標(biāo)代入雙曲線方程，求出a與b的關(guān)系，即可求出雙曲線C的漸近線方程．

解答 解：設(shè)F（c，0），P（m，n），（m＜0），
設(shè)PF的中點(diǎn)為M（0，b），
即有m=-c，n=2b，
將點(diǎn)（-c，2b）代入雙曲線方程可得，
$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4^{2}}{^{2}}$=1，
又c²=a²+b²，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=4，
∴$\frac{a}$=2，
∴雙曲線C的漸近線方程為y=±2x，
故答案為：y=±2x

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的漸近線方程的求法，同時考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式的運(yùn)用，屬于中檔題．