如圖，橢圓
經過點
，離心率
，直線
的方程為
.
(1)求橢圓
的方程；
(2)
是經過右焦點
的任一弦(不經過點
)，設直線與直線相交于點
，記
的斜率分別為
.問：是否存在常數
，使得
？若存在，求的值；若不存在，說明理由．
(1)
；(2)
.
解析試題分析：（1）將點代入橢圓的方程得到
，結合離心率
且
，即可求解出
，進而寫出橢圓的標準方程即可；（2）依題意知，直線的斜率存在，先設直線
的方程為
，并設
，聯立直線的方程與橢圓的方程，消去
得到
，根據二次方程根與系數的關系得到
，由直線及的方程確定點的坐標（含
），進而得到
，
進而整理出
（注意關注并應用
共線得到
），從而可確定的取值.
試題解析：(1)由在橢圓上得， ①
依題設知
，則
②
②代入①解得
故橢圓
的方程為
(2)由題意可設的斜率為
， 則直線的方程為 ③
代入橢圓方程
并整理
得
設，則有 ④
在方程③中令
得，
的坐標為
從而
注意到共線，則有，即有
所以
⑤
④代入⑤得
又
，所以
.故存在常數符合題意.
考點：1.橢圓的標準方程及其幾何性質；2.直線與橢圓的綜合問題；3.二次方程根與系數的關系.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，F是中心在原點、焦點在x軸上的橢圓C的右焦點，直線l：x＝4是橢圓C的右準線，F到直線l的距離等于3.
(1)求橢圓C的方程；
(2)點P是橢圓C上動點，PM⊥l，垂足為M.是否存在點P，使得△FPM為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
＝1(a>b>0)經過點M(－2，－1)，離心率為
.過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點P、Q.
(1)求橢圓C的方程；
(2)試判斷直線PQ的斜率是否為定值，證明你的結論．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系中，若
，且
.
（1）求動點
的軌跡
的方程；
（2）已知定點
，若斜率為
的直線
過點
并與軌跡交于不同的兩點
，且對于軌跡上任意一點
，都存在
，使得
成立，試求出滿足條件的實數
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心在坐標原點O，右焦點為F.若C的右準線l的方程為x＝4，離心率e＝
.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設點P為準線l上一動點，且在x軸上方．圓M經過O、F、P三點，求當圓心M到x軸的距離最小時圓M的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖,已知拋物線C1:x2+by=b2經過橢圓C2:
+
=1(a>b>0)的兩個焦點.
(1)求橢圓C2的離心率;
(2)設點Q(3,b),又M,N為C1與C2不在y軸上的兩個交點,若△QMN的重心在拋物線C1上,求C1和C2的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，橢圓
過點P(1, 
)，其左、右焦點分別為F1,F2,離心率e＝
,M,N是直線x＝4上的兩個動點，且
·
＝0.
（1）求橢圓的方程；
（2）求|MN|的最小值；
（3）以MN為直徑的圓C是否過定點？請證明你的結論。
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