Question

(本小題滿分14分)
某化妝品生產企業為了占有更多的市場份額，擬在2005年度進行一系列促銷活動，經過市場調查和測算，化妝品的年銷量x萬件與年促銷費ｔ萬元之間滿足3－x與ｔ＋1成反比例，如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件。已知2005年生產化妝品的設備折舊和維修等固定費用為3萬元，每生產1萬件化妝品需再投入32萬元的生產費用，若將每件化妝品的售價定為：其生產成本的150%與“平均每件促銷費的一半”之和，則當年生產的化妝品正好能銷完．
⑴將2005年的利潤y(萬元)表示為促銷費ｔ(萬元)的函數；
⑵該企業2005年的促銷費投入多少萬元時，企業的年利潤最大?
(注：利潤＝銷售收入—生產成本—促銷費，生產成本＝固定費用＋生產費用)

Answer 1

⑴(t≥0)
⑵7萬元

(1)由題意： , 將 
當年生產x(萬件)時，年生產成本＝年生產費用＋固定費用＝32x＋3＝32(3－)＋3，
當銷售x(萬件)時，年銷售收入＝150%［32(3－＋3］＋
由題意，生產x萬件化妝品正好銷完∴年利潤＝年銷售收入－年生產成本－促銷費
即(t≥0)            
(2)∵≤50－＝42萬件,當且僅當即t＝7時，y_max＝42;∴當促銷費定在7萬元時，利潤最大．