Question

設圓滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1，在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線l：x-2y=0的距離最小的圓的方程．

Answer 1

分析：圓被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1，劣弧所對的圓心角為90°，設圓的圓心為P（a，b），圓P截X軸所得的弦長為

2

r，
截y軸所得弦長為2；可得圓心軌跡方程，圓心到直線l：x-2y=0的距離最小，利用基本不等式，求得圓的方程．

解答：解法一：設圓的圓心為P（a，b），半徑為r，則點P到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|．
由題設知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為90°，知圓P截X軸所得的弦長為

2

r，故r²=2b²，
又圓P截y軸所得的弦長為2，所以有
r²=a²+1．
從而得2b²-a²=1．
又點P（a，b）到直線x-2y=0的距離為d=

|a-2b|

5

，
所以5d²=|a-2b|²
=a²+4b²-4ab
≥a²+4b²-2（a²+b²）
=2b²-a²=1，
當且僅當a=b時上式等號成立，此時5d²=1，從而d取得最小值．
由此有

a=b 2b2-a2=1

解此方程組得

a=1 b=1

或

a=-1 b=-1.

由于r²=2b²知r=

2

．
于是，所求圓的方程是
（x-1）²+（y-1）²=2，或（x+1）²+（y+1）²=2．
解法二：同解法一，得d=

|a-2b|

5

∴a-2b=±

5

d
得a2=4b2±4

5

bd+5d2①
將a²=2b²-1代入①式，整理得2b2±4

5

db+5d2+1=0②
把它看作b的二次方程，由于方程有實根，故判別式非負，即
△=8（5d²-1）≥0，
得5d²≥1．
∴5d²有最小值1，從而d有最小值

5

5

．
將其代入②式得2b²±4b+2=0．解得b=±1．
將b=±1代入r²=2b²，得r²=2．由r²=a²+1得a=±1．
綜上a=±1，b=±1，r²=2．
由|a-2b|=1知a，b同號．
于是，所求圓的方程是
（x-1）²+（y-1）²=2，或（x+1）²+（y+1）²=2．

點評：本小題主要考查軌跡的思想，求最小值的方法，考查綜合運用知識建立曲線方程的能力．易錯的地方，
P到x軸，y軸的距離，不能正確利用基本不等式．