Question

（本題滿分14分）設,函數．

（Ⅰ）證明:存在唯一實數，使；

（Ⅱ）定義數列:,,．

（i）求證:對任意正整數n都有；

(ii) 當時, 若，

證明:當k時，對任意都有:

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：略

 

【解析】（Ⅰ）證明: ①.       ………1分

令,則,,

∴.                               ………………………………… 2分

又,∴是R上的增函數.    …………………… 3分

故在區間上有唯一零點,

即存在唯一實數使.           ………………………………… 4分

②當時, ,,由①知,即成立；…… 5分

設當時, ,注意到在上是減函數,且,

故有:,即

∴,                    ………………………………… 7分

即.這就是說,時,結論也成立.

故對任意正整數都有:.            ………………………………… 8分

(2)當時,由得:,     ……………… 9分

………10分

當時,,

∴

    ………………………………… 12分

對,

    ………………………………… 13分

    ………………… 14分