Question

直線y=2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若A、B坐標分別為A（-4，2）、B（3，1），求點C的坐標，并判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：先求點A關于直線y=2x的對稱點A′，A′在BC所在直線上，
然后求BC所在直線方程，解方程組得到C的坐標；驗證三邊的長滿足勾股定理，可證明△ABC為直角三角形．

解答：解：由題意，點A關于直線y=2x的對稱點A′在BC所在直線上，設A′點坐標為（x₁，y₁），則x₁、y₁滿足

y1-2

x1+4

=-

1

2

，即x₁=-2y₁．①

y1+2

2

=2•

x1-4

2

，即2x₁-y₁-10=0．②
解①②兩式組成的方程組，得x₁=4，y₁=-2．
∴BC所在直線方程為

y-1

-2-1

=

x-3

4-3

，
即3x+y-10=0．得
解方程組
3x+y-10=0，x=2，
y=2x，y=4．
∴所求C點坐標為（2，4）．
由題意|AB|²=50，|AC|²=40，|BC|²=10，
∴△ABC為直角三角形．

點評：本題考查點關于直線對稱，直線的兩點式方程及平面幾何知識，是基礎題．