Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，S_n是{a_n}的前n項和，當n≥2時，Sn=an(1-

2

Sn

)．
（1）求證{

1

Sn

}是等差數列；
（2）若T_n=S₁•S₂+S₂•S₃+…+S_n•S_n+1，求T_n；
（3）在條件（2）下，試求滿足不等式

2m

a m+1+am+2+…+a2m

≥-

77

2

T5的正整數m．

Answer 1

分析：（1）由Sn=an(1-

2

Sn

)=(Sn-Sn-1)(1-

2

Sn

)可得，2S_n-2S_n-1+S_nS_n-1=0即

1

sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，{

1

Sn

}為公差的等差數列
（2）由（1）可得，Sn=

2

n+1

，則SnSn+1=

4

(n+1)(n+2)

=4(

1

n+1

-

1

n+2

)，利用裂項求和可求
（3）由（1）可得，an=

-2

n(n+1)

=-2(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂項求和可求am+1+am+2+…+a2m=-2(

1

m+1

-

1

m+2

+…+

1

2m

-

1

2m+1

)，而-

77

2

T5=-

77

2

×

10

7

=-55
結合m∈N^*可求m

解答：證明：（1）Sn=an(1-

2

Sn

)=(Sn-Sn-1)(1-

2

Sn

)
整理可得，2S_n-2S_n-1+S_nS_n-1=0
兩邊同時除以S_nS_n-1可得，

1

sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，

1

S1

=1
{

1

Sn

}是以1為首項，

1

2

為公差的等差數列
（2）由（1）可得，

1

Sn

=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

Sn=

2

n+1

SnSn+1=

4

(n+1)(n+2)

=4(

1

n+1

-

1

n+2

)
Tn=4(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

)=4(

1

2

-

1

n+2

)=

2n

n+2

（3）由（1）可得，an=

-2

n(n+1)

=-2(

1

n

-

1

n+1

)
am+1+am+2+…+a2m=-2(

1

m+1

-

1

m+2

+…+

1

2m

-

1

2m+1

)=

-2m

(m+1)(2m+1)

-

77

2

T5=-

77

2

×

10

7

=-55
原不等式可化為，

2m

-2m (m+1)(2m+1)

≥-55即（m+1）（2m+1）≤55
∵m∈N^*∴m=1，2，3，4

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造特殊的數列，定義證明等差數列的應用．裂項求解數列的和及數列與不等式的綜合內容的考查．