Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

1 2 an+n，n為奇數 an-2n，n為偶數

（1）求a₂、a₃、a₄、a₅；
（2）設b_n=a_2n-2，n∈N，求證{b_n}是等比數列，并求其通項公式；
（3）在（2）條件下，求證數列{a_n}前100項中的所有偶數項的和S₁₀₀＜100．

Answer 1

分析：（1）由數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

1 2 an+n，n為奇數 an-2n，n為偶數

，分別令n=2，3，4，5代入解出函數值即可；
（2）由于b_n=a_2n-2，要證明{b_n}是等比數列，利用等比數列的定義即可得到，在利用等比數列的通項公式求出通項；
（3）在（2）條件下得：a2n=bn+2=2-(

1

2

)n     （n=1，2，…，50），由通項公式利用分組求和及等比數列的求和公式即可求得．

解答：解：（1）a2=

3

2

，a3=-

5

2

，a4=

7

4

，a5=-

25

4

；
（2）∵

bn+1

bn

=

a2n+2-2

a2n-2

=

1 2 a2n+1 +2n+1-2

a2n-2

=

1 2 (a2n-4n)+2n-1

a2n-2

=

1 2 a2n-1

a2n-2

=

1

2

，
又∵b1=a2-2=-

1

2

，
∴數列{b_n}是等比數列，
且bn=(-

1

2

)(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n；
（3）由（2）得：
a2n=bn+2=2-(

1

2

)n     （n=1，2，…，50）
∴S100=a2+a4+…+a100=2×50-

1 2 (1- 1 250 )

1- 1 2

=99+

1

299

＜100．

點評：此題考查了有數列的遞推關系求前5項的數值，等比數列的定義及通項公式，分組求和及等比數列的求和公式．