Question

若關于x的不等式x2+

1

2

x-(

1

2

)n≥0對任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]上恒成立，則實常數λ的取值范圍是

（-∞，-1]

．

Answer 1

分析：根據指數函數的性質，可得當n∈N^*時，(

1

2

)n的最大值為

1

2

，則可將問題轉化為x2+

1

2

x-

1

2

≥0在x∈（-∞，λ]上恒成立，結合二次函數的圖象和性質，可得實常數λ的取值范圍．

解答：解：當n∈N^*時，(

1

2

)n的最大值為

1

2

則關于x的不等式x2+

1

2

x-(

1

2

)n≥0對任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]上恒成立，
即x2+

1

2

x-

1

2

≥0在x∈（-∞，λ]上恒成立，
∵f（x）=x2+

1

2

x-

1

2

的圖象是開口朝上，且以x=-

1

4

為對稱軸的拋物線
則當λ≤-

1

4

時，f（x）=x2+

1

2

x-

1

2

在（-∞，λ]上單調遞減，
若f（x）≥0，即f（λ）≥0，解得λ≤-1
當λ＞-

1

4

時，f（x）=x2+

1

2

x-

1

2

在（-∞，-

1

4

]上單調遞減，[-

1

4

，λ]單調遞增
若f（x）≥0，即f（-

1

4

）≥0，此時不滿足條件
綜上λ≤-1
即常數λ的取值范圍是（-∞，-1]

點評：本題考查的知識點是函數恒成立問題，其中熟練掌握指數函數的性質及二次函數的圖象和性質是解答的關鍵．