Question

二次函數f（x）與g（x）=

1

2

x²-1的圖象開口大小相同，開口方向也相同，y=f（x）的對稱軸方程為x=1，圖象過點（2，

3

2

）點
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在大于1的實數m，使y=f（x）在[1，m]上的值域是[1，m]？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出f（x）的解析式，利用圖象過點（2，

3

2

）點，求出函數的解析式；
（2）設出函數y=f（x）利用函數在[1，m]上的值域是[1，m]，利用單調性求出m值即可．

解答：解：（1）由題意設f（x）=

1

2

（x-1）²+k  代入（2，

3

2

）⇒k=1
∴f（x）=

1

2

（x-1）²+1
（2）假設存在，則y=f（x）在[1，m]上單調增函數，
所以f（m）=m
即

1

2

（m-1）²+1=m⇒m=1，m=3
又m＞1
∴m=3
存在m=3符合題意．

點評：本題是基礎題，考查二次函數在閉區間上的最值，解析式的求法，函數的單調性，考查計算能力．