Question

（2013•茂名二模）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點E，F(xiàn)分別在邊CD，CB上，點E與點C，點D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF將△CEF折起到△PEF的位置，使得平面PEF⊥平面ABFED

（1）求證：BD⊥平面POA
（2）當點O 在何位置時，PB取得最小值？
（3）當PB取得最小值時，求四棱錐P-BDEF的體積．

Answer 1

分析：（1）由菱形的性質(zhì)可得BD⊥AO，再利用面面垂直的性質(zhì)可得PO⊥平面ABFED，得到PO⊥BD，進而得到結(jié)論；
（2）設(shè)AO∩BD=H．設(shè)OH=x(0＜x＜2

3

)．由（1）可知：PO⊥平面ABFED．得到△POB為直角三角形．利用勾股定理可得到PB²關(guān)于x的二次函數(shù)，即可得到答案；
（3）由（2）可知：PB取得最小值，此時O為CH的中點．于是EF為△BCD邊BD的中位線，可得梯形EFBD的面積，由（1）可知：PO⊥平面BEFD，∴PO是四棱錐P-BDEF的高．
利用四棱錐的體積計算公式即可．

解答：（1）證明：在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD，
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．
（2）解：連接OB，設(shè)AO∩BD=H．由（1）可知；AC⊥BD．
∵∠DAB=60°，BC=4，∴BH=2，CH=2

3

．
設(shè)OH=x(0＜x＜2

3

)．
由（1）可知：PO⊥平面ABFED．故△POB為直角三角形．
∴PB²=OB²+PO²=（BH+OH）²+PO²=4+x2+(2

3

-x)2
=2x2-4

3

x+16=2(x-

3

)2+10，
當x=

3

時，PB取得最小值，此時O為CH的中點．
（3）解：PB取得最小值，此時O為CH的中點．
∴EF為△BCD邊BD的中位線，∴S_梯形EFBD=

(BD+EF)•OH

2

=3

3

．
由（1）可知：PO⊥平面BEFD，∴PO是四棱錐P-BDEF的高．
∴V_P-BDEF=

1

3

S梯形BDEF•PO=

1

3

×3

3

×

3

=3．

點評：熟練掌握菱形的性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定、勾股定理可、二次函數(shù)的單調(diào)性、梯形EFBD的面積、四棱錐的體積是解題的關(guān)鍵．