Question

已知函數f（x）的定義域是（0，+∞），當x＞1時，f（x）＜0，且f（x•y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）證明f（x）在定義域上是減函數；
（Ⅱ）如果f(

3

3

)=1，求滿足不等式f(x)-f(

1

x-2

)≥-2的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要掌握定義法證明單調性的前提是x₁＜x_2，判斷f（x₂）＜f（x₁）即可，準確構造條件當x＞1時，f（x）＜0，取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則  

x2

x1

＞1，進而得出結論；
（2）要利用第一問的結論，加上條件f（x•y）=f（x）+f（y），利用單調性即可解出答案．

解答：解：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則  

x2

x1

＞1，∴f(

x2

x1

)＜0.（2分）
又f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f(x1)+f(

x2

x1

)=f(x2)，∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)＜0，（4分）
∴f（x₂）＜f（x₁），∴f（x）在定義域內是減函數．（6分）
（Ⅱ）由已知f（x•y）=f（x）+f（y），
可得∴2f(

3

3

)=f(

3

3

)+f(

3

3

)=f(

1

3

)=2．（8分）f(x)-f(

1

x-2

)≥-2，
∴f(x)+2=f(x)+f(

1

3

)=f(

x

3

)≥f(

1

x-2

)，（10分）
∵f（x）在定義域內是減函數，
∴

1 3 x≤ 1 x-2 x＞0 x-2＞0

∴2＜x≤3.（12分）

點評：本題要掌握定義法證明單調性的前提是x₁＜x_2，判斷f（x₂），f（x₁）的大小；另外如果第一問無法準確得出，可以直接將結論應用于第二問．