Question

【題目】在△ABC 內部取n 個點， 將△ABC剖分為若干個小三角形(每兩個小三角形或者有一個公共頂點，或者有一條公共邊，或者完全沒有公共點，如圖所示).現將點A 染紅色， 點B 染藍色，點C 染黑色，其余n 個點的每個點也任意染上紅、藍、黑三色之一.我們稱三個頂點的顏色恰為紅、藍、黑的小三角形為“特征三角形”.證明：至少有一個小三角形是特征三角形.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設在△ABC 內部的紅藍邊(即一端點為紅點, 一端點為藍點的邊)有條, 又設三個頂點顏色不同(紅、藍、黑各一個)的特征三角形共有個, 三頂點分別為紅、紅、藍或藍、藍、紅的小三角形共有個, 其余的小三角形(如頂點顏色為紅、紅、黑;紅、紅、紅;藍、藍、黑;藍、藍、藍;黑、黑、黑;黑、黑、紅;黑、黑、藍等)共個.

我們統計每個小三角形紅藍邊的條數, 再把它們加起來, 總和數為.

從另一角度看, 由于每一條在大三角形的內部的紅藍邊都為兩個小三角形的公共邊, 即被統計兩次, 而大△ABC 的一條紅藍邊只屬于一個小三角形, 只計數一次.所以, 總和數為.因此，.

從而，是個奇數.

因此, 三個頂點的顏色全不相同的特征三角形個數p 是奇數, p 最少是1.也就是說至少有一個小三角形是特征三角形.