Question

一動圓截直線3x-y=0和3x+y=0所得的弦長分別為8，4，求動圓圓心的軌跡方程．

Answer 1

分析：動圓截直線3x-y=0和3x+y=0所得的弦長分別為8，4，利用點到直線的距離公式，可求MA²，MC²由垂徑定理可得，MA²+AB²=MC²+EC²，化簡即可．

解答：解：如圖所示，設點M（x，y），由條件可得，AB=4，EC=2，
由點到直線的距離公式可得，MA²=

(3x-y)2

10

，MC²=

(3x+y)2

10

由垂徑定理可得，MA²+AB²=MC²+EC²，
∴

(3x-y)2

10

+16=

(3x+y)2

10

+4，化簡可得，xy=10．
∴點M的軌跡方程為xy=10．

點評：本題以直線與圓相交為載體，考查軌跡方程，解題的關鍵是利用圓的特殊性，借助于垂徑定理求解．