Question

在數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（Ⅰ）求證：數列{

an

2n

}是等差數列；
（Ⅱ）設數列{a_n}的前n項和為S_n，求證：對任意的n∈N₊，S_n+1-4a_n是一個常數．

Answer 1

分析：（I）將等式a_n+1=2a_n+2ⁿ兩邊同時除以2ⁿ⁺¹，然后化簡整理，根據等差數列的定義可判定；
（Ⅱ）根據（I）求出數列{a_n}的通項公式，然后利用錯位相消法求數列{a_n}的前n項和為S_n，最后再判定對任意的n∈N₊，S_n+1-aa_n是否是一個常數．

解答：解：（I）∵a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

2n

2n+1

=

1

2

∴數列{

an

2n

}是以

a1

21

=

1

2

為首項，

1

2

為公差的等差數列
（Ⅱ）由（I），知

an

2n

=

1

2

+

1

2

（n-1）=

n

2

∴a_n=n•2^n-1
∴S_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1
∴2S_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
由②-①，可得S_n=n•2ⁿ-（1+2+2²+…2^n-1）=（n-1）•2ⁿ+1
∴S_n+1-4a_n=n•2ⁿ⁺¹+1-4n•2^n-1=1，故結論成立．

點評：本題主要考查了等差關系的確定，以及數列的遞推關系和利用錯位相消法求數列的和，同時考查了計算能力，屬于中檔題．