Question

在數列{a_n}中，a 1=

1

3

，并且對任意n∈N^*，n≥2都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，令b_n=

1

an

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{

an

n

}的前n項和為T_n，證明：

1

3

≤Tn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n•a_n-1=a_n-1-a_n，得

1

an

-

1

an-1

=1，由此推導出b_n-b_n-1=1，從而得到b_n=n+2．
（Ⅱ）由

an

n

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），利用錯位相減法求出T_n=

1

2

[

3

2

-（

1

n+1

+

1

n+2

）]，由此能夠證明

1

3

≤Tn＜

3

4

．

解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵數列{a_n}中，a 1=

1

3

，并且對任意n∈N^*，n≥2都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，b_n=

1

an

（n∈N^*），
∴當n=1時，b1=

1

a1

=3；
當n≥2時，由a_n•a_n-1=a_n-1-a_n，得

1

an

-

1

an-1

=1，
∴b_n-b_n-1=1，
∴數列{b_n}是首項為3，公差為1的等差數列，
∴b_n=n+2．
（Ⅱ）∵

an

n

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

=

1

2

[

3

2

-（

1

n+1

+

1

n+2

）]，
∴T_n是關于變量n的增函數，當n趨近無窮大時，

1

n+1

+

1

n+2

的值趨近于0，
當n=1時，T_n取最小值

1

3

，故有

1

3

≤Tn＜

3

4

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意迭代法和裂頂求和法的合理運用．