Question

（08年綿陽市診斷三理）（12分）為坐標原點，和兩點分別在射線≥上移動，且，動點滿足，記點的軌跡為。

（1）求的值；

（2）求點的軌跡的方程，并說明它表示怎樣的曲線？

（3）設點，若直線 與曲線交于、兩點，且、兩點都在以為圓心的圓上，求的取值范圍。

Answer 1

解析：（1）分別在射線上，

，即，

，

又，

。

，

。……2分

（2）設P(x,y)，

由可得

即

，

兩式相減有：，即。……6分

，且y_A、y_B不同時為0，

。

∴軌跡C的方程為，它表示雙曲線的上支。……5分

（3）

消去x，整理得：。……6分

∵直線y=kx+m與曲線C交于M，N兩點，設M(x₁,y₁)，N(x₂,y₂)，

，

即……8分

由①整理得：m²+3k²-1>0，  ④

由③有：3k²-1<0           ⑤

∴由②有m>0。

又、N在以點G為圓心的圓上，

設MN的中點為Q，則，即

，

。

，

。

又，

。

整理得4mk=3k²-1，⑥……10分

把⑥代入④中有：m²+4mk>0，

由m>0，所以m+4k>0，

又由⑥有，代入上式得，

，

中。

于是19k²-1<0。

解得。

再由3k²-1<0，得。

綜合得k的取值范圍為。……12分