Question

正三角形的一個頂點位于坐標原點,另外兩個頂點在拋物線y²=2px(p>0)上,求這個正三角形的邊長.

Answer 1

|AB|=2y₁=4p.

如圖,設正△OAB的頂點A、B在拋物線上,且它們的坐標分別為(x₁,y₁)和(x₂,y₂),則y₁²=2px₁,y₂²=2px₂,又|OA|=|OB|,

∴x₁²+y₁²=x₂²+y₂²,即x₁²-x₂²+2px₁-2px₂=0.
∴(x₁-x₂)(x₁+x₂+2p)=0.∵x₁>1,x₂>0,2p>0,∴x₁=x₂.由此可得|y₁|=|y₂|,即線段AB關于x軸對稱.
由于AB垂直于x軸,且∠AOx=30°,∴=tan30°=.
而y₁²=2px₁,∴y₁=2p.于是|AB|=2y₁=4p.