Question

【題目】 如圖，△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點

（Ⅰ）證明：△ABE∽△ADC；

（Ⅱ）若△ABC的面積，求的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先證明∠BAE＝∠CAD，∠AEB＝∠ACD，利用相似三角形的判定定理可得結論；（Ⅱ）利用三角形相似可得AB·AC＝AD·AE，結合△ABC的面積，可得sin∠BAC＝1，從而可得結果.

由已知條件，可得∠BAE＝∠CAD.

因為∠AEB與∠ACB是同弧上的圓周角，

所以∠AEB＝∠ACD.

故△ABE∽△ADC.

（Ⅱ）因為△ABE∽△ADC，所以，

即AB·AC＝AD·AE.

又S＝AB·AC·sin∠BAC，且S＝AD·AE，

故AB·AC·sin∠BAC＝AD·AE.

則sin∠BAC＝1，又∠BAC為三角形內角，所以∠BAC＝90°.