Question

已知函數f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab．當x∈（-3，2）時，f（x）＞0，當x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時，f（x）＜0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數g(x)=

a

3

x2+2tanθ•x+b在區間[1，+∞）上單調，求θ的取值范圍；
（3）不等式（t-2）f（x）≥t²+（m-2）t-2m+2對x∈[-1，1]及t∈[-1，1]時恒成立，求實數m的取范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得 a＜0，且-3和2是方程f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab=0 的2個實數根，利用一元二次方程根與系數的關系解得a和b的值，即可求得f（x）的解析式
（2）由于函數g(x)=

a

3

x2+2tanθ•x+b=-x²+2tanθx+5 的對稱軸為 x=tanθ，且在區間[1，+∞）上單調，可得tanθ≤1，由此求得θ 的范圍．
（3）由題意可得可得 （6-3t）x²+（6-3t）x+（20-m）t-38+2m≥0 對x∈[-1，1]及t∈[-1，1]時恒成立．故函數h（x）=（6-3t）x²+（6-3t）x+（20-m）t-38+2m 在[-1，1]上的最小值為h（-

1

2

）=（

83

4

-m）t+2m-

79

2

≥0對t∈[-1，1]恒成立．故有 （

83

4

-m）×1+2m-

79

2

≥0 且（

83

4

-m）（-1）+2m-

79

2

≥0，由此求得m 的范圍．

解答：解：（1）由題意可得 a＜0 且-3和2是方程f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab=0 的2個實數根，
∴-3+2=

b-8

-a

，且-3×2=

-a-ab

a

，解得 a=-3，b=5，∴f（x）=-3x²-3x+18．
（2）若函數g(x)=

a

3

x2+2tanθ•x+b=-x²+2tanθx+5 的對稱軸為 x=tanθ，且在區間[1，+∞）上單調，
故有 tanθ≤1，∴θ∈（kπ-

π

2

，kπ+

π

4

），k∈z．
（3）不等式（t-2）f（x）≥t²+（m-2）t-2m+2對x∈[-1，1]及t∈[-1，1]時恒成立，
可得 （6-3t）x²+（6-3t）x+（20-m）t-38+2m≥0 對x∈[-1，1]及t∈[-1，1]時恒成立．
把x當作自變量，可得此一元二次不等式對應的二次函數的對稱軸為x=-

1

2

，
故函數h（x）=（6-3t）x²+（6-3t）x+（20-m）t-38+2m 在[-1，1]上的最小值為h（-

1

2

）=（

83

4

-m）t+2m-

79

2

≥0對t∈[-1，1]恒成立．
故有 （

83

4

-m）×1+2m-

79

2

≥0 且 （

83

4

-m）（-1）+2m-

79

2

≥0，求得 m≥

241

4

．

點評：本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，求函數的最值，二次函數的性質的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．