Question

若不等式2xlnx≥-x²+ax-3對x∈（0，+∞）恒成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，0）
• B、（0，+∞）
• C、（-∞，4]
• D、[4，+∞）

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數的綜合應用

分析：由已知條件推導出a≤x+2lnx+

3

x

，x＞0，令y=x+2lnx+

3

x

，利用導數性質求出x=1時，y取最小值4，由此能求出實數a的取值范圍．

解答： 解：∵2xlnx≥-x²+ax-3對x∈（0，+∞）恒成立，
∴a≤x+2lnx+

3

x

，x＞0，
令y=x+2lnx+

3

x

，
則y′=1+

2

x

-

3

x2

=

x2+2x-3

x2

，
由y′=0，得x₁=-3，x₂=1，
x∈（0，1）時，y′＜0；
x∈（1，+∞）時，y′＞0．
∴x=1時，y_min=1+0+3=4．
∴a≤4．
∴實數a的取值范圍是（-∞，4]．
故選：C．

點評：本題考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．