Question

證明方程6-3x=2^x在區間[1，2]內有唯一一個實數解，并求出這個實數解。（精確度0.1）

Answer 1

證明：設函數f(x)=2^x+3x-6，因為f(1)=-1＜0，f(2)=4＞0，所以f(1)·f(2)＜0，
又因為f(x)在R上連續且是增函數，所以函數f(x)在區間[1，2]內有唯一的零點，
所以方程6-3x=2^x在區間[1，2]內有唯一一個實數解。
設此解為x₀，則x₀∈[1，2]，
取x₁=1.5，f(1.5)≈1.33＞0，f(1)·f(1.5)＜0，所以x₀∈(1，1.5)；
取x₂=1.25，f(1.25)≈0.128＞0，f(1)·f(1.25)＜0，所以x₀∈(1，1.25)；
取x₃=1.125，f(1.125)≈-0.44＜0，f(1.125)·f(1.25)＜0，所以x₀∈(1.125，1.25)；
取x₄=1.187 5，f(1.187 5)≈-0.16＜0，f(1.187 5)·f(1.25)＜0，所以x₀∈(1.187 5，1.25)；
因為|1.25-1.187 5|=0.062 5＜0.1，所以可取x₀=1.187 5，
即方程6-3x=2^x的實數解的近似值可取為1.187 5。