Question

證明方程6-3x=2^x在區間[1，2]內有唯一一個實數解，并求出這個實數解（精確到0.1）．

Answer 1

證明：設函數使f（x）=2^x+3x-6．∵f（1）=-1＜0，f（2）=4＞0
又∵f（x）是增函數，所以函數f（x）=2^x+3x-6在區間[1，2]有唯一的零點，
則方程6-3x=2^x在區間[1，2]有唯一一個實數解．設該解為x₀，則x₀∈[1，2]
取x₁=1.5，f（1.5）=0.33＞0，f（1）f（1.5）＜0．∴x₀∈（1，1.5）
取x₂=1.25，f（1.25）=0.128＞0，f（1）f（1.25）＜0．
∴x₀∈（1，1.25）
取x₃=1.125，f（1.125）=-0.44＜0，
f（1.125）f（1.25）＜0．∴x₀∈（1.125，1.25）
取x₄=1.1875，f（1.1875）=-0.16＜0，f（1.1875）f（1.25）＜0．
∴x₀∈（1.1875，1.25）∵|1.25-1.1875|=0.0625＜0.1∵可取x₀=1.2
則方程的實數解為x₀=1.2．
分析：證明方程6-3x=2^x在區間[1，2]內有唯一一個實數解，只需證明函數在[1，2]內為單調函數，再結合根的存在性定理即可．
求解可用二分法．
點評：本題考查根的存在性定理、用二分法求根，考查計算能力．