Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面邊長都相等，A₁在底面ABC內的射影為△ABC的中心，則AB₁與底面ABC所成角的正弦值等于

2

3

．

Answer 1

分析：先求出點A₁到底面的距離A₁D的長度，即知點B₁到底面的距離B₁E的長度，再求出AB₁的長度，在直角三角形AEB₁中，即可求得結論．

解答：解：由題意不妨令棱長為2，如圖，A₁在底面ABC內的射影為△ABC的中心，故DA=

2 3

3

，
由勾股定理得A₁D=

4- 4 3

=

2 6

3

過B₁作B₁E⊥平面ABC，則∠B₁AE為AB₁與底面ABC所成角，且B₁E=

2 6

3

，
如圖作A₁S⊥AB于中點S，∴A₁S=

3

，
∴AB₁=

3+9

=2

3

∴AB₁與底面ABC所成角的正弦值sin∠B₁AE=

2 6 3

2 3

=

2

3

．
故答案為：

2

3

點評：本題考查線面角，考查學生的計算能力，作出線面角是關鍵．