Question

【題目】在數列{an}中，a1＝，其前n項和為Sn，且Sn＝an＋1－ (n∈N*)．

(1)求an，Sn；

(2)設bn＝log2(2Sn＋1)－2，數列{cn}滿足cn·bn＋3·bn＋4＝1＋(n＋1)(n＋2)·2bn，數列{cn}的前n項和為Tn，求使4Tn>2n＋1－成立的最小正整數n的值．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)2015.

【解析】試題分析：

(1)由題意結合通徑公式與前n項和之間的關系可得數列的通項公式為利用Sn＝an＋1－有：

(2)結合(1)中的結論有： ，據此分組求和結合裂項求和可得,據此可得關于的不等式： ，求解不等式可得滿足題意的最小正整數n的值為2 015.

試題解析：

(1)由Sn＝an＋1－，得Sn－1＝an－(n≥2)，

兩式作差得an＝an＋1－an，即2an＝an＋1(n≥2)，∴＝2(n≥2)，

由a1＝S1＝a2－＝，得a2＝1，∴＝2，

∴數列{an}是首項為，公比為2的等比數列．

則an＝·2n－1＝2n－2，Sn＝an＋1－＝2n－1－.

(2)bn＝log2(2Sn＋1)－2＝log22n－2＝n－2，

∴cn·bn＋3·bn＋4＝1＋(n＋1)(n＋2)·2bn，

即cn(n＋1)(n＋2)＝1＋(n＋1)(n＋2)·2n－2，

∴cn＝＋2n－2

＝－＋2n－2，

∴Tn＝(－)＋(－)＋…＋(－)

＋(2－1＋20＋…＋2n－2)

＝－＋

＝－－＋2n－1

＝2n－1－.

由4Tn>2n＋1－，

得4(2n－1－)>2n＋1－.

即<，n>2 014.

∴使4Tn>2n＋1－成立的最小正整數n的值為2 015.