Question

雙曲線C與橢圓有相同的焦點，直線為C的一條漸近線.

   （1）求雙曲線C的方程；

   （2）過點P（0，4）的直線l交雙曲線C于A、B兩點，交x軸于Q點（Q點與C的頂點不重合），當時，求Q點的坐標.

Answer 1

解：（1）設雙曲線方程為  

由橢圓，求得兩焦點為（－2，0），（2，0）

∴對于雙曲線C：c=2，又為雙曲線C的一條漸近線，

∴  解得   ∴雙曲線C的方程為  

（2）解法一：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零，

設l的方程：

則

∵

∴

∴

∵A(x₁, y₁)在雙曲線C上， ∴

∴

∴

同理有：

若16－k²=0，則直線l過頂點，不合題意。

∴16－k²≠0， ∴是二次方程 的兩根

∴  ∴k²=4，此時△>0， ∴k=±2

∴所求Q的坐標為（±2，0）

解法二：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零。

設l的方程：

∵  ∴Q分的比為。由定比分點坐標式得：

  下同解法一

解法三：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零。

設l的方程：

∵  ∴

∴

∴  即

將

∵，否則l與漸近線平行 

∴

∴  ∴

解法四：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零，

設l的方程：

∵  ∴

∴

同理 

即

又由     消去y，得

當3－k²=0時，則直線l與雙曲線的漸近線平行，不合題意，

由韋達定理有：

代入（*）式得k²=4，k=±2

∴所求Q的點的坐標為（±2，0）