Question

已知數列{a_n}，{b_n}，{c_n}滿足：a₁=b₁=1，且有an+1-an=

bn+1

bn

=

1

2

（n=1，2，3，…），c_n=a_nb_n，試求

lim

n→∞

1

n

(c1+c2+…+cn)．

Answer 1

分析：根據題意可得，{a_n}是1為首項，

1

2

為公差的等差數列，{b_n}是1為首項，

1

2

為公比的等比數列，從而可求得a_n，b_n，從而可得c_n=（n+1）•(

1

2

)n，利用錯位相減法可求得S_n=3-（n+3）(

1

2

)n，

Sn

n

=

3

n

-（1+

3

n

）(

1

2

)n，從而可得答案．

解答：解：∵a₁=b₁=1，a_n+1-a_n=

bn+1

bn

=

1

2

，
∴{a_n}是1為首項，

1

2

為公差的等差數列，{b_n}是1為首項，

1

2

為公比的等比數列，
∴a_n=

n+1

2

，b_n=(

1

2

)n-1…3′
c_n=

n+1

2

•(

1

2

)n-1=（n+1）•(

1

2

)n…5′
S_n=c₁+c₂+…+c_n=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+（n+1）(

1

2

)n，①

1

2

S_n=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n+（n+1）(

1

2

)n+1，②
①-②得：
∴

1

2

S_n=1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-（n+1）(

1

2

)n+1=

3

2

-（n+3）(

1

2

)n+1，
∴S_n=3-（n+3）(

1

2

)n…10′
∴

lim

n→∞

Sn

n

=

lim

n→∞

[

3

n

-（1+

3

n

）(

1

2

)n]=0…12′

點評：本題考查數列的極限，著重考查等差數列與等比數列的通項公式與數列求和公式的應用，突出了錯位相減法求和及數列的極限的求法，屬于綜合性強的題目．