Question

設函數f(x)=2sin2(

π

4

+x)-acos2x-1(x∈R，a為常數)，已知x=

5π

12

時f（x）取到最大值2．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）設y=g（x）與y=f（x）的圖象關于直線x=

π

6

對稱，求滿足x∈（0，π）且f（x）-2g（x）=3的所有x的值．

Answer 1

分析：（1）先根據三角函數的二倍角公式和輔角公式將函數f（x）化簡為y=Asin（wx+ρ）的形式，根據最大值為2可求出A的值，進而求出a的值．
（2）先根據對稱性寫出函數g（x）的解析式，然后代入到f（x）-2g（x）=3中，再由正弦函數的性質可確定x的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x-1=1-cos(

π

2

+2x)-acos2x-1
=sin2x-acos2x=

1+a2

sin(2x-?)，其中，cos?=

1

1+a2

，sin?=

a

1+a2

f(x)最大值為f(

5π

12

)=2，所以

1+a2

=2，∴a=±

3

，?=2kπ+

π

3

∴sin?=

a

1+a2

＞0，∴a=

3

（Ⅱ）∵g(x)=f(

π

3

-x)=2sin[2(

π

3

-x)-

π

3

]=-2sin(2x-

π

3

)
∴f(x)-2g(x)=6sin(2x-

π

3

)，∴sin(2x-

π

3

)=

1

2

∴2x-

π

3

=

π

6

+2kπ或

5π

6

+2kπ，即x=

π

4

+kπ或

7π

12

+kπ，k∈Z
∵x∈(0，π)，∴x=

π

4

或

7π

12

．

點評：本題主要考查二倍角公式、輔角公式和三角函數的對稱性問題．三角函數部分公式比較多，一定要強化記憶，做題時才能做到游刃有余．