Question

（本小題滿分13分）已知函數f (x)=2n在［0,+上最小值是a（n∈N*）.

(1)求數列{a}的通項公式；(2)已知數列{b}中，對任意n∈N*都有ba =1成立，設S為數列{b}的前n項和，證明：2S<1;(3)在點列A(2n,a)中是否存在兩點A,A(i,j∈N*)，使直線AA的斜率為1？若存在，求出所有的數對（i,j）；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(Ⅰ)  a=  (Ⅱ) 略  （Ⅲ）不存在

解析:

：解：（1）由f (x)=2n得f ′(x)=，f (0)=2n.

令f ′(x)=0得x=,當x∈(0,)時，f ′(x)<0,

當x∈(,+∞)時，f ′(x)>0，∴f (x)在（0，+∞）上，f ()=,

當x=時取得最小值.∴a=.

(2)證明：∵ba=1,∴b=.∵=,

∴S=.∴2S<1.

（3）不存在，假設存在兩點Ai,Aj滿足題意，即k=1， 令x=2n,y=a，則y= (x≥2)

點(x,y)在曲線x-y=1(x≥2,y≥1)上，而雙曲線的一條漸近線方程為y=x，其斜率為1,A,A在雙曲線上，故k<1矛盾.

另解：不存在，設A (2i,a),A(2j,a)，（其中i,j∈N*）,

則k=

==1,故不存在.