Question

如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B-AC-E的正弦值；
（3）求三棱錐E-ACD的體積．

Answer 1

分析：（1）欲證AE⊥平面BCE，由題設條件知可先證BF⊥AE，CB⊥AE，再由線面垂直的判定定理得出線面垂直即可；
（2）求二面角B-AC-E的正弦值，需要先作角，連接BD交AC交于G，連接FG，可證得∠BGF是二面B-AC-E的平面角，在△BFG中求解即可；
（3）由題設，底面三角形ACD的面積易求，關鍵是求高，過點E作EO⊥AB交AB于點O，求得OE的長度即可，易求．

解答：解：（1）∵BF⊥平面ACE．∴BF⊥AE
∵二面角D-AB-E為直二面角．且CB⊥AB．
∴CB⊥平面ABE∴CB⊥AE
∵BF∩CB=B
∴AE⊥平面BCE（4分）
（2）連接BD交AC交于G，連接FG
∵正方形ABCD邊長為2．∴BG⊥AC，BG=

2

∵BF⊥平面ACE．由三垂線定理的逆定理得
FG⊥AC．∴∠BGF是二面B-AC-E的平面角（7分）
由（1）和AE⊥平面BCE
又∵AE=EB∴在等腰直角三角形AEB中，BE=

2

又∵Rt△BCE中，EC=

BC2+BE2

=

6

BF=

BC×BE

EC

=

2× 2

6

=

2 3

3

∴Rt△BFG中sin∠BGF=

BF

FG

=

2 3 3

2

=

6

3

∴二面角B-AC-E的正弦值等于

6

3

（10分）
（3）過點E作EO⊥AB交AB于點O，OE=1
∵二面角D-AB-E為直二面角，∴EO⊥平面ABCD
∴VE-ACD=

1

3

S△ACD•EO=

1

3

•

1

2

•AD•DC•EO=

2

3

（14分）

點評：本題考查了用線面垂直的判定定理證明線面垂直，以及用二面角的定義求二面角，求棱錐的體積，本題涉及到的知識與技巧較多，綜合性較強，在解題過程中要注意體會問題的轉化方向，及解決方法．