Question

【題目】己知圓：和拋物線：，圓的切線與拋物線相交于不同的兩點，.

（1）當直線的斜率為1時，求；

（2）設點為點關于直線的對稱點，是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，

【解析】

（1）設直線方程為，根據相切得到，聯立方程得到，，根據弦長公式計算得到答案.

（2）考慮斜率存在和不存在兩種情況，聯立方程得到，，根據，計算得到答案.

（1）設直線方程為，則，故或.

當時，，無解，舍去；

當時，，，故，，.

.

（2），故，設直線方程為，易知時不成立，

設，，則，即.

，故，，即，

，.

，故，

即，相減得到，解得或.

當時，，即，驗證滿足，成立；

當時，代入計算得到，無解；

當斜率不存在時，直線方程為，故.

此時，不滿足；

綜上所述：存在直線，滿足條件.