Question

【題目】已知橢圓C: 的右焦點為，離心率．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）已知動直線l過點F，且與橢圓C交于A，B兩點，試問x軸上是否存在定點M ，使得恒成立？若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）x軸上存在點，使得恒成立，理由見解析.

【解析】

（1）根據焦點坐標、離心率結合列式，求得的值，從而求得橢圓的標準方程.

（2）假設軸上存在，使.當直線斜率為時，求得兩點的坐標，利用列方程，解方程求得的值.當直線斜率不存在時，求得兩點的坐標，利用列方程，解方程求得的值.由此判斷，由此求得點坐標，再證當直線斜率存在時，即可.當直線斜率存在時，設出直線的方程，聯立直線方程和橢圓方程，寫出韋達定理，計算得，由此求得符合題意的點的坐標.

（1）∵ ，， ∴，

∴ ．

∴ 橢圓方程為．

（2）假設x軸上存在點M(m,0),使得,

①當直線l的斜率為0時, ,,

則, 解得 ．

②當直線l的斜率不存在時, ,,

則,

解得 ,．

由①②可得．

下面證明時, 恒成立.

直線l斜率存在時,設直線方程為.

由 消y整理得: ,

,,

.

.

綜上,軸上存在點，使得恒成立.