Question

已知f（x）為偶函數，且x＞0時，f(x)=

1

a

-

1

x

(a＞0)．
（1）判斷函數f（x）在（0，∞）上的單調性，并證明；
（2）若f（x）在[

1

2

，2]上的值域是[

1

2

，2]，求a的值；
（3）求x∈（-∞，0）時函數f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用函數的單調性的定義進行判斷和證明即可
（2）由（1）可知函數f（x）在區間[

1

2

，2]上的單調性，結合單調性及已知函數的 值域可求a
（3）可設x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），結合已知x＞0時的函數解析式及函數為偶函數可求

解答：（本小題滿分14分）
解：（1）函數f（x）在（0，+∞）上是增函數．．…（1分）
證明如下：
任取0＜x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=

1

a

-

1

x1

-

1

a

+

1

x2

=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

．…（3分）
∵0＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數..…（6分）
（2）由（1）知函數f（x）在區間[

1

2

，2]上是增函數，值域為[

1

2

，2]，．…（7分）
∴f（

1

2

）=

1

2

，f（2）=2，．…（9分）
即

1 a -2= 1 2 1 a - 1 2 =2

，解得a=

2

5

..…（11分）
（3）設x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），
∴f（-x）=

1

a

-

1

-x

=

1

a

+

1

x

．…（12分）
又因為f（x）為偶函數，所以f（x）=f（-x）=

1

a

-

1

-x

=

1

a

+

1

x

..…（14分）

點評：本題綜合考查了函數的單調性、函數的奇偶性及函數的值域等知識的綜合應用，解題的關鍵是熟練掌握函數的基本知識