Question

已知雙曲線C的漸近線為y=±

3

3

x且過點M（

6

，1）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m，（m≠0）與雙曲線C相交于A，B兩點，D（0，-1）且有|AD|=|BD|，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可知：雙曲線C的焦點在x軸上，可設此雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）．則

b a = 3 3 6 a2 - 1 b2 =1

，解出即可．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯立

y=kx+m x2-3y2=3

，化為（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0，（1-3k²≠0）
由題意△＞0，化為m²+1＞3k²．（*），進而得到根與系數的關系，于是得到線段AB的中點M的坐標．由|AD|=|BD|，可得k_AB•k_MD=-1．
即k•

m+1-3k2

3km

=-1，化為4m+1=3k²，代入（*）得m²+1＞4m+1，及3k²=4m+1≥0解出即可．

解答：解：（1）由題意可知：雙曲線C的焦點在x軸上，可設此雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）．
則

b a = 3 3 6 a2 - 1 b2 =1

，解得

a2=3 b2=1

．
∴雙曲線C的方程為

x2

3

-y2=1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立

y=kx+m x2-3y2=3

，化為（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0，（1-3k²≠0）
由題意△＞0，化為m²+1＞3k²．（*）
∴x1+x2=

6km

1-3k2

，x1x2=

-3m2-3

1-3k2

．
設線段AB的中點為M（x₀，y₀），則x0=

x1+x2

2

=

3km

1-3k2

，y₀=kx₀+m=

3k2m

1-3k2

+m=

m

1-3k2

．
∴M(

3km

1-3k2

，

m

1-3k2

).kMD=

m+1-3k2

3km

．
∵|AD|=|BD|，∴k_AB•k_MD=-1．
∴k•

m+1-3k2

3km

=-1，化為4m+1=3k²，代入（*）得m²+1＞4m+1，
解得m＞4或m＜0．
由3k²=4m+1≥0，解得m≥-

1

4

∴m的取值范圍是[-

1

4

，0）∪（4，+∞）．

點評：本題中考查了雙曲線的標準方程及其性質、直線與雙曲線相交問題的一般解法等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．