Question

10、給出如下三個等式：①f（a+b）=f（a）+f（b）；②f（ab）=f（a）+f（b）；③f（ab）=f（a）×f（b）．
則下列函數中，不滿足其中任何一個等式的函數是（　　）

A、f（x）=x²

B、f（x）=3x

C、f（x）=2^x

D、f（x）=lnx

Answer 1

分析：本題可以用排除法來解答，根據f（ab）=f（a）•f（b），可排除A；根據f（a+b）=f（a）+f（b），可排除B；f（ab）=f（a）+f（b）可排除D，對C進行證明后，即可得到答案．

解答：解：A中，若f（x）=x^2，
∵f（ab）=（ab）²，f（a）•f（b）=a²•b²，f（ab）=f（a）•f（b），故③成立，
B中，若f（x）=3x^，
∵f（a+b）=3（a+b），f（a）+f（b）=3a+3b，f（a+b）=f（a）+f（b），故①成立，
D中，若f（x）=lnx，f（ab）=lnab=lna+lnb=f（a）+f（b），故②成立．
C中，若f（x）=2^x
∵f（a+b）=2^a+b，f（a）+f（b）=2^a+2^b，f（a+b）=f（a）+f（b）不一定成立，故①不成立，
∵f（ab）=2^ab，f（a）+f（b）=2^a+2^b，f（ab）=2^a•2^b，
f（ab）=f（a）+f（b）不一定成立，故②不成立，
f（ab）=f（a）•f（b）不一定成立，故③不成立，
故選C

點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，我們根據冪函數、一次函數、對數函數、指數函數的性質，對四個結論逐一進行判斷，易得答案，建議大家記憶三個結論及f（x）=2^x滿足f（a+b）=f（a）•f（b）將其做為抽象函數選擇題時特值法的特例使用．