Question

設函數f（x）定義域為R且f（x）的值恒大于0，對于任意實數x，y，總有f（x+y）=f（x）•f（y），且當x＜0時，f（x）＞1．
（1）求證：f（0）=1，且f（x）在R上單調遞減；
（2）設集合A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B≠∅，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令x=-1，y=0，即可證得f（0）=1；設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），可判斷其符號大于0，從而可證f（x）在R上單調遞減；
（2）由f（x²）•f（y²）＞f（1），得f（x²+y²）＞f（1），利用f（x）在R上單調遞減的性質可知x²+y²＜1；由f（ax-y+2）=1=f（0）得：ax-y+2=0，由∩B≠∅，可知直線與圓相交，從而可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）證明：令x=-1，y=0，得f（-1）=f（-1）•f（0），
又當x＜0時，f（x）＞1，所以有f（0）=1 …（2分）
設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，于是f（x₁-x₂）＞1…3分
∴f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）…4分
=f（x₁-x₂）•f（x₂）-f（x₂）
=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]…5分
∵f（x）在R上恒大于0，
∴f（x₂）＞0，
∴f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），即f（x）在R上單調遞減；…6分
（2）由f（x²）•f（y²）＞f（1），得f（x²+y²）＞f（1），
∵f（x）在R上單調遞減，
∴x²+y²＜1，即A表示圓x²+y²=1的內部…8分
由f（ax-y+2）=1=f（0）得：ax-y+2=0，
∴B表示直線ax-y+2=0…10分
∵A∩B≠∅，
∴直線與圓相交，即

2

1+a2

＜1解得：a＞

3

或a＜-

3

…13分

點評：本題考查抽象函數及其應用，考查函數單調性的判定，考查子集與交集、并集運算的轉換，考查直線與圓的位置關系，考查運算能力，屬于難題．