Question

設函數f（x）定義域為R，當x＞0時，f（x）＞1，且對任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）．
（1）證明：f（0）=1；          
（2）證明：f（x）在R上是增函數；
（3）設集合A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＜f（1）}，B={（x，y）|f（x+y+c）=1，c∈R}，若A∩B=φ，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）為使f（x+y）=f（x）•f（y）中有f（0），由當x＞0時，f（x）＞1．可設x=0，y=1可得f（1）=f（0）•f（1），結合f（1）＞1可求f（0）
（2）要證明f（x）在R上是增函數，即證明當x₁＜x₂時，有f（x₁）＜f（x₂），當x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，，有x₂-x₁＞0，則f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）•f（x₂-x₁），可證
（3）由f（x²+y²）＜f（1）及單調性知x²+y²＜1可求A；由f（x+y+c）=f（0）=1和函數單調性知x+y+c=0可求B，若A∩B=φ，用圖形分析可得：只要圓x²+y²=1與直線x+y+c=0相離或相切即可

解答：（1）證明：設x=0，y=1得：f（0+1）=f（0）•f（1），即f（1）=f（0）•f（1）
∵f（1）＞1
∴f（0）=1
（2）證明：∵對x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，，有x₂-x₁＞0
∴f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）•f（x₂-x₁）中有f（x₂-x₁）＞1
由已知可，得當x₁＞0時，f（x₁）＞1＞0
當x₁=0時，f（x₁）=1＞0
當x₁＜0時，f（x₁）•f（-x₁）=f（x₁-x₁）=f（0）=1
又∵f（-x₁）＞1∴0＜f（x₁）＜1
故對于一切x₁∈R，有f（x₁）＞0
∴f（x₂）=f（x₁）•f（x₂-x₁）＞f（x₁），故命題得證．
（3）解 由f（x²+y²）＜f（1），則由單調性知x²+y²＜1．
由f（x+y+c）=f（0）=1和函數單調性知x+y+c=0，
若A∩B=φ，則只要圓x²+y²=1與直線x+y+c=0相離或相切即可，故

|c|

2

≥1．
∴c≥

2

或c≤-

2

點評：本題主要考查了利用抽象函數的賦值法求解函數值，及利用構造法證明函數的單調性的技巧要求考生熟練應用，利用函數的單調性把集合的基本運算轉化為直線與圓的位置關系，本題是一道構思非常巧妙的試題．