Question

已知函數(shù)f（x）=1-

4

2ax+a

（a＞0，a≠1）且f（0）=0．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=（2^x+1）•f（x）+k有零點，求實數(shù)k的取值范圍．
（Ⅲ）當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）＞m•2^x-2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）的解析式以及f（0）=1-

4

2+a

=0，求得a的值．
（Ⅱ）由題意可得，函數(shù)y=2^x 的圖象和直線y=1-k有交點，故有1-k＞0，求得k的范圍．
（Ⅲ）由題意可得當(dāng)x∈（0，1）時，1-

2

2x+1

＞m•2^x-2恒成立．令t=2^x，則t∈（1，2），且 m＜

1

t

+

2

t+1

．利用單調(diào)性求得

1

t

+

2

t+1

＞

7

6

，從而可得m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）對于函數(shù)f（x）=1-

4

2ax+a

（a＞0，a≠1），由f（0）=1-

4

2+a

=0，
求得a=2，故f（x）=1-

4

2•2x+2

=1-

2

2x+1

．
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=（2^x+1）•f（x）+k=2^x+1-2+k=2^x-1+k 有零點，
則函數(shù)y=2^x 的圖象和直線y=1-k有交點，∴1-k＞0，求得k＜1．
（Ⅲ）∵當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）＞m•2^x-2恒成立，即1-

2

2x+1

＞m•2^x-2恒成立．
令t=2^x，則t∈（1，2），且 m＜

3

t

-

2

t(t+1)

=

3t+1

t(t+1)

=

1

t

+

2

t+1

．
由于

1

t

+

2

t+1

在∈（1，2）上單調(diào)遞減，∴

1

t

+

2

t+1

＞

1

2

+

2

2+1

=

7

6

，∴m≤

7

6

．

點評：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．