Question

【題目】如圖，已知平面平面，直線平面，且.

（1）求證：平面；

（2）若，平面，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）過點作于點，推導出平面，利用線面垂直的性質定理可得出，再由線面平行的判定定理可證得平面；

（2）推導出四邊形為矩形，然后以點為坐標原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，設，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.

（1）證明：過點作于點，

因為平面平面，又平面平面，平面，

所以平面，

又因為平面，所以，

因為平面，平面，所以平面；

（2）因為平面，所以，

由可知，，，則，

所以點是的中點，連接，則，

所以平面，則，，所以四邊形是矩形.

以為坐標原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，

設，則、、、.

設平面的一個法向量為，

又，.

由，得，取，得.

設平面的一個法向量為，

因為，.

由，得，取，得；

設二面角的平面角為，則，

由題知二面角是鈍角，則二面角的余弦值為.