Question

已知=（cosα，sinα）,=（cosβ,sinβ），與之間有關系|k+|=|－k|，其中k>0，（Ⅰ）用k表示;
（Ⅱ）求·的最小值，并求此時與的夾角的大小。

Answer 1

（Ⅰ）·；（Ⅱ）·的最小值為，與的夾角的大小60°．

試題分析：（Ⅰ）用k表示，可由已知，，可得，結合|k+|=|－k|，像這種與向量的模有關，可采用兩邊平方法，這樣兩邊平后可得，整理后可用k表示，（Ⅱ）求·的最小值，由（Ⅰ）中函數的解析式，利用基本不等式，即可求出的最小值，利用最小值代入向量夾角公式，從而可得此時與的夾角的大小．
試題解析：（1）已知|ka+b|=|a－kb|，兩邊平方，得|ka+b|²=(|a－kb|)²
k²a²+b²+2ka·b=3(a²+k²b²－2ka·b)∴8k·a·b=(3－k²)a²+(3k²－1)b²
a·b =∵a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)，
∴a²="1," b²=1,∴a·b ==
（2）∵k²+1≥2k，即≥=∴a·b的最小值為，又∵a·b ="|" a|·|b |·cos，|a|=|b|=1∴=1×1×cos。∴=60°,此時a與b的夾角為60°。