Question

【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是邊長為2的正方形，M、N分別為PB、PC的中點．

（1）證明：MN∥平面PAD；
（2）若PA與平面ABCD所成的角為45°，求四棱錐P﹣ABCD的體積V．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵M、N分別是棱PB、PC中點，

∴MN∥BC，

又 ABCD是正方形，∵AD∥BC，

∴MN∥AD．

∵MN平面PAD，AD平面PAD，

∴MN∥平面PAD．

（2）解：∵PD⊥平面ABCD，∴PA與平面ABCD所成的角為∠PAD，

∴∠PAD=45°．

∴PD=AD=2，

故四棱錐P﹣ABCD的體積V= =

【解析】（1）由中位線定理得出MN∥BC，由MN∥AD，故MN∥AD，得出MN∥平面PAD；（2）由∠PAD=45°得出PD=AD，于是棱錐體積V= ．