Question

【題目】已知拋物線的準線為，為上一動點，過點作拋物線的切線，切點分別為.

（I）求證：是直角三角形；

（II）軸上是否存在一定點，使三點共線.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）存在.

【解析】

（I）設出點M的坐標以及切線方程，并將其與聯立消得，利用，得到，結合韋達定理得到，即可證明是直角三角形；

（II）設，由（I）可得，設出直線AB的方程與聯立消得，結合韋達定理得到，解得，得到直線過定點，即可證明軸上存在一定點，使三點共線.

（I）由已知得直線的方程為，設，切線斜率為，則切線方程為，將其與聯立消得.所以，化簡得，所以，所以.即是直角三角形.

（II）由I知時，方程的根為

設切點，則.因為，所以.

設，與聯立消得，則，所以，解得，所以直線過定點.

即軸上存在一定點，使三點共線.