【題目】已知函數
.
（1）求函數
的單調區間和極值；
（2）證明：當
時，函數
沒有零點（提示：
）
【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析
【解析】
試題分析：（1）因為
，所以
.所以函數
的單調遞增區間為
，單調減區間為
.當
時，取得極小值
.（2）由（1）可知：當
時，
取得極小值，亦即最小值.又因為
，所以
．設
，則
，因為
在
上單調遞減，且
，
，所以
有唯一的零點
，使得
在
上單調遞增，在
上單調遞減，
又由于
，
，所以
恒成立.從而
恒成立，則
恒成立.所以當
時，函數
沒有零點.
試題解析：解：（1）因為
，
所以.
因為
，所以當
時，
，當時
，
.
所以函數的單調遞增區間為，單調減區間為.
當時，取得極小值
.
（2）由（1）可知：當時，取得極小值，亦即最小值.
，又因為，所以．
設，則，
因為在上單調遞減，且，，
所以有唯一的零點，使得在上單調遞增，在上單調遞減，
又由于，，
所以恒成立.從而
恒成立，則恒成立.
所以當時，函數沒有零點.
陽光課堂課時優化作業系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
為拋物線
：
的焦點，點
在拋物線
上，且到原點的距離為
.
（1）求拋物線
的方程；
（2）已知點
，延長
交拋物線
于點
，證明：以點
為圓心且與直線
相切的圓，必與直線
相切.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在△ABC中，射影定理可表示為a＝b·cosC＋c·cosB．其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊，類比上述定理．寫出對空間四面體性質的猜想．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，上頂點與兩焦點構成的三角形為正三角形．
（1）求橢圓
的離心率；
（2）過點
的直線與橢圓
交于
兩點，若
的內切圓的面積的最大值為
，求橢圓的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
，橢圓
的離心率為
，
是橢圓
的右焦點，直線
的斜率為
，
為坐標原點.
（1）求
的方程；
（2）設過點
的動直線
與
相交于
兩點，當
的面積最大時，求的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在空間中，下列命題錯誤的是 ( )
A. 一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交
B. 一個平面與兩個平行平面相交，交線平行
C. 平行于同一平面的兩個平面平行
D. 平行于同一直線的兩個平面平行
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
已知圓
在極坐標方程為
，直線
的參數方程為
（
為參數）.若直
線與圓相交于不同的兩點
.
（Ⅰ）寫出圓的直角坐標方程，并求圓心的坐標與半徑；
（Ⅱ）若弦長
，求直線的斜率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
中，
，
，
于點
，
于點
.
（1）如圖1，作
的角平分線
交
于點
，連接
.求證：
；
（2）如圖2，連接
，點
與點
關于直線
對稱，連接
、
.
①依據題意補全圖形；
②用等式表示線段
、
、
之間的數量關系，并加以證明.
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