Question

【題目】已知橢圓的離心率為，經過點B（0，1）．設橢圓G的右頂點為A，過原點O的直線l與橢圓G交于P，Q兩點（點Q在第一象限），且與線段AB交于點M．

（Ⅰ）求橢圓G的標準方程；

（Ⅱ）是否存在直線l，使得△BOP的面積是△BMQ的面積的3倍？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據離心率為的橢圓過點，結合，列出、、 的方程，即可得到橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設，則，經分析可知要使的面積是的3倍，等價于

，由此可表示出點的坐標，由點在線段上與點在橢圓上分別代入直線與橢圓的方程化簡可得到關于的一元二次方程，解方程即可知是否存在直線，使得的面積是的面積的3倍．

（Ⅰ）由題意可知：，解得．

∴橢圓G的標準方程為．

（Ⅱ）設，則，可知．

若使的面積是的面積的3倍，只需使得，

即，即．

由 ，∴直線的方程為．

∵點在線段上，∴，整理得，①

∵點在橢圓上，∴，②把①式代入②式可得，

∵判別式小于零，該方程無解．∴不存在直線，使得的面積是的面積的3倍．