Question

【題目】已知函數，

（1）求函數的單調遞減區間；

（2）若關于的方程在區間上有兩個不等的根，求實數的取值范圍；

（3）若存在，當時，恒有，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）;（2） ;（3）

【解析】

試題分析：（1）由題已知函數,求函數的單調區間，可按照先求導，再令，又解出對應的不等式的解集，可得；（注意定義域優先）

（2）由在區間上有兩個根，可通過構造函數，轉而利用導數考察函數的單調性和極值，再結合零點判定定理可建立關于不等式組，可求。

（3）由，都有為恒成立問題，可構造函數，又，只需函數在給定的區間上單調遞增即可，可利用導數，讓導函數再區間上恒大于零可解出的取值范圍.

試題解析：解：（1）因為函數的定義域為，

且，

令，即解之得:

所以函數的單調遞減區間為

（2）令，

且定義域為

所以,令，，

列表如下：

		1
	+	0	-
	遞增	極大值	遞減

所以函數在區間先單調遞減后單調遞增，故要使有兩個不等的根，

只須即所以

（3）令，且

要使存在，當時，恒有，

則只須即可，

也就是存在，當時函數是單調遞增的，

又因為，只須在時成立，

即，解得，所以的取值范圍是.