Question

已知f（x）=2sin（x+

θ

2

）cos（x+

θ

2

）+2

3

cos²（x+

θ

2

）-

3

，若0≤θ≤π，使函數f（x）為偶函數的θ為（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  4

• C．

  π

  3

• D．

  π

  2

Answer 1

分析：利用兩角和差的正弦、二倍角公式化簡函數f（x）的解析式為 2sin（2x+θ+

π

3

），再由函數f（x）為偶函數，可得 θ+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈z，由此求得 θ的值．

解答：解：∵f（x）=2sin（x+

θ

2

）cos（x+

θ

2

）+2

3

cos²（x+

θ

2

）-

3

=sin（2x+θ）+2

3

•

1+cos(2x+θ)

2

-

3

=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+

π

3

），
且 0≤θ≤π，函數f（x）為偶函數，
∴θ+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈z，即 θ=kπ+

π

6

，k∈z，
故選A．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦、二倍角公式的應用，三角函數的奇偶性，屬于中檔題．