Question

已知函數（x）=xlnx．
（1）求函數y=f（x）的單調區間和極值；
（2）若函數y=g（x）與f（x）=xlnx（0＜x＜2）關于點（1，0）對稱，證明：當0＜x＜2時，f（x）≥g（x）．

Answer 1

分析：（1）由原函數的解析式，我們易求出函數的導函數，進而根據導函數的零點對函數的定義域進行分段討論后，即可得到答案．
（2）已知y=g（x）=-f（2-x）=（x-2）ln（2-x）（0＜x＜2），要證明f（x）≥g（x），只須證明f（x）-g（x）≥0，令h（x）=f（x）-g（x）=xlnx+（2-a）ln（2-x），利用導數求出其最小值，最后綜合即可得到答案．

解答：解：（1）f'（x）=lnx+1，x∈（0，+∞）
又∵當f'（x）=lnx+1=0，得x=

1

e

，如下表

∴f（x）在（0，

1

e

）上單調遞減，在（

1

e

，+∞）上單調遞增，在x=

1

e

處取得極小值，
且極小值為f（

1

e

）=-

1

e

．
（2）由已知y=g（x）=-f（2-x）=（x-2）ln（2-x）（0＜x＜2），要證明f（x）≥g（x），
只須證明f（x）-g（x）≥0，
令h（x）=f（x）-g（x）=xlnx+（2-a）ln（2-x），則g′（x）=ln

x

2-x

，
令g′（x）=0，得x=1，
當x∈（0，1）時，h'（x）＜0，當x∈（1，2）時，h'（x）＞0，
∴當x∈（0，2）時，h（x）≥h（1）=0，
∴f（x）≥g（x）．

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，及函數的單調性與導數的關系，其中根據已知條件求出導函數是解答本題的關鍵．